罗定能再给我几道综合题吗？（中考数学综合题）

罗定

能再给我几道综合题吗？

能再给你几道数学综合题，当然没问题！以下是精选的三道涵盖代数、几何与函数的综合题目，每道题都具有典型性和思维深度，适合提升解题能力。

罗定

题目一：函数与不等式综合

已知函数 $f(x) = x^2 - 2ax + 3$ f(x)=x22ax+3，
（1）若不等式 $f(x) \leq 0$ f(x)≤0 的解集为区间 $[1, 3]$ [1,3]，求实数 $a$ a 的值；
（2）在（1）的条件下，若对任意 $x \in [0, 2]$ x∈[0,2]，不等式 $f(x) \geq m$ f(x)≥m 恒成立，求实数 $m$ m 的最大值。

罗定

罗定解析思路：
第（1）问利用二次不等式解集与方程根的关系，可知 1 和 3 是方程的两根，由韦达定理得 $1+3 = 2a \Rightarrow a = 2$ 1+3=2aa=2。
第（2）问转化为求函数在区间 $[0,2]$ [0,2] 上的最小值。此时 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ f(x)=x24x+3，对称轴为 $x=2$ x=2，在区间右端点取得最小值 $f(2) = -1$ f(2)=1，故 $m$ m 的最大值为 $-1$ 1。

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题目二：几何与圆的综合应用

罗定如图，在平面直角坐标系中，点 $A(-4, 0)$ A(4,0)，点 $B(0, 3)$ B(0,3)，以线段 $AB$ AB 为直径作圆 $⊙C$ ⊙C。
（1）求圆心 $C$ C 的坐标及圆的半径；
（2）判断原点 $O(0,0)$ O(0,0) 与圆 $⊙C$ ⊙C 的位置关系（在圆内、圆上或圆外）；
（3）若点 $P$ P 在直线 $AB$ AB 上，且 $\angle APB = 90^\circ$ ∠APB=90°，求点 $P$ P 的个数并说明理由。

罗定

罗定解析思路：
（1）由中点公式得 $C = \left( \frac{-4+0}{2}, \frac{0+3}{2} \right) = (-2, 1.5)$ C=(24+0,20+3)=(2,1.5)，半径 $r = \frac{1}{2} \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \frac{5}{2} = 2.5$ r=21(4)2+32